המשוואות הפאראכאוטיות של סלדון

fractalsבפוסט הקודם בסדרה זו ראינו שאפשר לחשוב על החברה האנושית בעזרת מודל סטטיסטי. המודל הזה יתבסס על האדם הבודד והפעולות שלו כעזר מחשבתי, אך בסופו של דבר יתבטא כמשוואות שדה (או רצף) סטטיסטיות. למשוואות האלו יכולות להיות הרבה בעיות טכניות, אבל לא לא מצאנו שום דבר שיהפוך אותן לבלתי-פתירות. אבל אם זה המצב, למה אנחנו בכלל צריכים את סלדון?

התשובה היא שגם אם אתה יכול לפתור את המשוואות לזמן הנוכחי, זה לא אומר שתצליח לחזות בעזרתן את העתיד. המצב הזה נקרא בשפה המתמטית "כאוס", ולהבדיל מהמשמעות העממית של המילה (בלגן) הכאוס מוגדר במדויק וגם במקרים רבים ניתן לכימות. נותר לנו רק ללמוד איך עושים זאת ואיך סלדון משתמש בכך.

כאמור, אנשים מקשרים כאוס עם בלגן ומורכבות, אבל אפשר למצוא אותו גם במצבים פשוטים מאוד. ברז דולף למשל: אפשר לפתוח אותו כך שטיפות ייצאו ממנו בתדירות קבועה; כשממשיכים לפתוח, הטפטוף מסתבך וחושף שתי תדירויות; ובמצב מסויים הטפטוף נהיה כאוטי: לא ניתן לחזות מה יהיה קצב הטפטוף בעוד זמן מה. התכונה הזו שימושית לנו כתלמידי פסיכוהיסטוריה, כי היא מאפשרת לנו לראות את הכאוס בעיניים. נעשה זאת בעזרת דוגמה קלאסית בתחום: אי השפנים.

באי מסויים גדלים שפנים, והם כמובן גם מתרבים כמו שפנים. אבל יש בעיה: לאי יש קיבולת מוגבלת, וכשהשפנים ממלאים אותו יותר מדי, אין מספיק אוכל לכולם. אז לפי כמות השפנים שיש עכשיו, כמות השפנים יכולה לגדול או לקטון. האם היא אי פעם תתייצב? זה תלוי כמובן בקצב הגדילה או הקטינה. אז נניח שכמו בדוגמה הקלאסית, מספר השפנים בשנה הבאה מיוצג על ידי פרבולה הפוכה (כולם יודעים מה זה פרבולה, נכון?) כמו זו:

logistic_map

הגובה של הפרבולה נקבע על ידי הפרמטר r. בתמונה, ערכו 1. אבל ערכו יכול להיות גם אחר. בכל אופן, עכשיו כשאני יודע מה יש השנה, אני יכול לדעת בדיוק מה יהיה בשנה הבאה. בואו נחשב את זה עבור ערכים שונים של הפרמטר, כשאנחנו מתחילים עם אי חצי מלא [1]:

ex0q3a

כמו הברז שהזכרתי, גם כאן ככל שמעלים את הפרמטר העניינים מסתבכים. אבל חוסר הסדר הנראה לעין בערכים גבוהים של הפרמטר הוא עוד לא הבעיה שלנו. אחרי הכל, אנחנו יכולים לחשב זאת והרגע עשינו זאת. הבעיה שלנו מתחילה כשאנחנו לא יודעים בדיוק מה הערך ההתחלתי. אם הייתי לוקח כמות התחלתית שונה בקצת מהכמות שהתחלתי איתה מקודם, האם הייתי מקבל את אותה תוצאה? החישוב הבא בודק זאת, ואנו מסתכלים על ההפרש בין התוצאות:

ex0q3b

התחלנו כאן עם הבדל שקטן בכמה סדרי גודל מהערך המקורי. כשהפרמטר היה קטן, ההבדל הזה נעלם תוך 20 שנה, וגם לפני כן היה קטן מאוד (שימו לב: הסקלה לוגריתמית). בפרמטר גבוה יותר, המערכת התייצבה לאט יותר. אך בפרמטר גבוה מספיק, ההבדל לעולם לא התייצב, ולמעשה הקשר בין העתיד הראשון לעתיד השני התפרק לגמרי. וזה למרות שיכלנו לחשב במדויק את אוכלוסיית השפנים לכל ערך התחלתי וכל זמן.

כשטעות קטנה בערך ההתחלתי הופכת להבדל גדול בתוצאה הסופית, יש לנו בעיה של מדידה. ככל שאנחנו רוצים למדוד לזמן ארוך יותר, כך אנחנו צריכים לשפר את דיוק המדידות של כל הערכים שנמצאים במודל. אך עם כאוס, המצב גרוע בהרבה: כאוס מוגדר כמצב שבו השגיאה גדלה מעריכית עם הזמן. זה אומר שמאמץ המדידה הופך לבלתי-סביר מהר מאוד.

אז מה עושים? מתבאסים? סלדון החליט שמה פתאום, מתפעלים. והוא מסביר את הרעיון שלו כך, שוב לקיסר קלאון הראשון [2]:

… מאז ומתמיד היה מקובל שמערכת מסובכת כמו החברה האנושית חייבת להפוך לכאוטית במהירות רבה, ומשום כך, היא איננה ניתנת לניבוי. אבל אני הצלחתי להראות שבחקר החברה האנושית, אפשר לבחור נקודת מוצא ולקבל הנחות מסויימות שיבטלו את הכאוס. דבר זה מאפשר לחזות את העתיד, לא לפרטי פרטיו, כמובן, אלא במונחים רחבים מאוד; לא בוודאות, אלא בהסתברויות שאפשר לחשבן.

שני דברים אומר לנו כאן סלדון: ראשית, קיימים פרמטרים למשוואות הפסיכוהיסטוריה שבהם המשוואות לא כאוטיות. שנית, סלדון מוכיח שהוא מתמטיקאי בכך שהוא מראה שהדבר ייתכן, אבל לא איך למצוא את סט הפרמטרים הזה. הוכחה מתמטית על קיומו של משהו יכולה לבוא בכמה צורות: אפשר להראות דוגמה אחת; אפשר למצוא שיטה שמוצאת את כל המקרים הקיימים או לפחות חלק משמעותי מהם; ואפשר גם רק להראות על ידי שרשרת טענות לוגיות שהדבר חייב להתקיים, גם אם איננו יודעים היכן.

האחרון היה, כפי הנראה, סוג ההוכחה שאותה הציג סלדון בכנס המתמטיקאים עבורו הגיע לראשונה לטראנטור ושדרכו משך את תשומת לב הקיסר. העבודה שאותה ביצע סלדון במשך עשורים רבים באוניברסיטה בטראנטור היתה לנסות להפוך את ההוכחה הכללית שלו להוכחה מהסוג השני, כזו שגם מראה לך איפה למצוא את מה שאתה מחפש. ומה אנחנו מחפשים? את גבולות הכאוס; את האזורים במרחב הפרמטרים שאינם כאוטיים. למעשה, אנחנו מחפשים מערכת משוואות שונה לגמרי מהמשוואות הסטטיסטיות, אף שהיא נגזרת מהן; ולמערכת הזאת קורא סלדון "משוואות פאראכאוטיות" [3].

למצוא איפה נמצא גבול הכאוס זה דבר שאפשר לעשות היום בשיטות מתמטיות מסויימות. האיור הבא למשל עושה זאת לאי השפנים על ידי חישוב המערכת עד לזמן רחוק מאוד והצגת 500 הערכים האחרונים, לכל פרמטר. אם המערכת התייצבה, תהיה נקודה אחת. אם היא מחליפה תדירויות, יהיו לערך הפרמטר המתאים שתי נקודות, או ארבע וכו'. ואם היא כאוטית, היא תהיה מרוחה על תחום ערכים כלשהו.

ex05q2full

אבל עבור משוואות מסובכות יותר, בעלות יותר מימדים, התרגיל הזה לא מעשי. אבל יש שיטות יותר ממוקדות. אמרנו כבר שהכאוס פירושו גדילה מעריכית באפקט של שגיאה בקלט, והמתמטיקה של היום מגדירה מושגים קשורים כמו "מקדמי ליאפונוב" שמודדים את חוזק הגדילה המעריכית, ורק אם הם גדולים מאחד יש כאוס. יש לנו גם דרכים לגזור ממשוואות של מערכת את המשוואות של מקדמי ליאפונוב למשל. אבל זה לא אומר שמה שנקבל יהיה קל לפתרון, ופה הבעיה של סלדון.

אפשר גם להבין את ההסבר של סלדון לקיסר בצורה אחרת: שסלדון מצא דרך לנסח את המשוואות כך שאין כאוס בכלל. אבל ראשית, הספרים מודיעים לנו שזה לא המצב, ושכמעט עד הסוף סלדון לא התגבר על בעיית הכאוס; ושנית, קיימת העובדה הלא נוחה הבאה, שמקדמי ליאפונוב לא תלויים בצורת הצגת המשוואות [4]. הם מה שנקרא אצל פיזיקאים "אינווריאנטה" – איך שלא תציג את המערכת, תמיד תגיע לאותו מספר. לכן, אם המערכת האנושית כאוטית איפשהו (וסביר שהיא כזו), היא תהיה כזאת איך שסלדון לא יבחר להציג אותה.

לכן, פריצת הדרך של סלדון היתה להוכיח את הקיום, ומאוחר יותר למצוא ממש, אזורים שבהם החיזוי הוא אפשרי. מציאת האזורים האלו לא היתה פשוטה. בכל זאת מדובר במשוואות קשות מלכתחילה. למעשה, המורכבות שלהן היא כזו שגם כדי לחשב אותן דרושות שיטות מורכבות, איטרטיביות ונומריות, כלומר למעשה יש לתכנת מחשב שיבצע את החישובים וימצא את האזורים הלא כאוטיים. מספר 2 בפרוייקט, יוגו אמאריל, חושף זאת בפני דורס ונאבילי, שותפתו לחיים של סלדון [5]:

אמאריל הסיט מתג, ומייד החשיך החדר ושוב התעורר לחיים בזוהר ססגוני. דורס ראתה מכל עבר סביבה סמלים, חצים, קווים וסימנים מתמטיים אחרים מכל מין וסוג. אלה נראו כאילו הם נעים, מסתחררים, אבל כל אימת שמיקדה מבטה בחלק כלשהו, הוא נראה קפוא במקומו.

היא אמרה, "אם כן, זהו העתיד?"

"יכול להיות," אמר אמאריל … "אבל יש שתי בעיות"

"כן? מה הן?"

"קודם כל, שום מוח אנושי לא יצר את המשוואות האלה במישרין. אנחנו רק הקדשנו עשרות שנים לתכנות מחשבים יותר ויותר אדירים, והם עיבדו את המשוואות ואחסנו אותן. אבל כמובן, איננו יכולים לדעת אם הן תקפות ומשמעותיות. זה תלוי לחלוטין בשאלה עד כמה תקף ומשמעותי היה התכנות מלכתחילה.

כמובן, אמאריל חושף בפנינו בעיה נוספת, בקרת איכות תוכנה, אבל גם זו בעיה טכנית, כמו הבעיות שהזכרנו בפוסט הקודם. לעומת זאת, בעיה אחת נוספת היא קריטית לחיזוי: אפילו שאנחנו יודעים איזה אזורים כאוטיים ואיזה לא, שום דבר לא מבטיח לנו שאנחנו אכן נמצאים באזור שאינו כאוטי. ואם לא – אין במשוואות של סלדון דבר שידריך אותנו כיצד להגיע לאזור כזה. מהו המדריך? על כך נדבר בפוסט הבא.


[1] את כל הגרפים מלבד הראשון הכנתי כעבודת בית בקורס "מערכות דינמיות וכאוס" שהועבר לתארים מתקדמים ע"י ד"ר יאיר שוקף בפקולטה להנדסה, אוני' ת"א, 2013-14.
[2] אסימוב, בטרם המוסד, הוצאת כתר 1988. עמ' 17.
[3] אסימוב, לקראת המוסד, הוצאת כתר 1994, עמ' 96. האמת שבתרגום העברי זה נקרא "בתר-כאוטיות" וזה לא ההפתעה היחידה בתרגום. אני שומר את השם המקורי.
[4] http://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/Papers/256.pdf
[5] לקראת המוסד, עמ' 213-214

מודעות פרסומת

5 מחשבות על “המשוואות הפאראכאוטיות של סלדון

  1. פינגבק: פסיכוהיסטוריה: קצה הכוכב | תפרים

  2. פינגבק: משוואות השדה של הפסיכוהיסטוריה | תפרים

  3. אני ממש נהנה מסדרת הפוסטים הזו.
    פעם, כשאהיה זקן ויהיה לי זמן, אגש לקרוא את סדרת הספרים הזו. בינתיים אני מסתפק בתמצות המצוין שלך.

    בעצם מדובר על מציאת פתרונות לא כאוטיים וגבולות הפרמטרים המאפשרים פתרונות שכאלו? אז המחשב יכול לענות לשאלה בנוגע לעתיד משהו כמו "אנחנו נכנסים לתקופה כאוטית שבא יכולות החיזוי שלי אינן פעילות".
    ושאלה בנוגע לאי השפנים: האם הכאוס בו לא נובע מהדיסקרטיות של הצגת הבעיה בזמן אך לא במספר השפנים? אם מציגים אותה דיסקרטית במספר השפנים אך לא דיסקרטית בזמן האם יהיה כאוס?

    • כן, עד כאן סלדון הגיע. אבל יש לנו עוד פוסט לגמור…
      כאוס קיים כמובן גם במשתנים רציפים, שמיוצגים על ידי מערכת משוואות דיפרנציאליות. למעשה אפשר לחשוב על הצגה דיסקרטית בזמן כדגימה של פונקציה רציפה. אם במקום זה אתה יודע מה קורה בכל נקודת זמן יש לך יותר ידע על הבעיה שאולי עוזר לך, אבל איכשהו אני מרגיש שזה לא יבטל את הכאוס (אין לי הוכחה לזה).

  4. פינגבק: סערה בכוס לימונדה | תפרים

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s